Arithmetische Zahlenfolge Beispiel Essay

Lösung der Teilaufgabe a):
In jeder Reihe liegt ein Rohr weniger als in der vorhergehenden. Damit ergibt sich die (endliche) Zahlenfolge . Hierbei handelt es sich um eine arithmetische Folge mit  und . Gesucht ist .

Für die Summe gilt:

Es können 78 Rohre gestapelt werden.

Lösung der Teilaufgabe b):
Es gilt  und . Dann folgt:

Das führt auf die quadratische (Un-)Gleichung mit den formalen Lösungen . Da n eine natürliche Zahl sein muss, erhalten wir als (einzige) Lösung .

Anmerkung: Für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen gilt .

Beispiel 2

In einem Zirkuszelt befinden sich in der ersten Sitzreihe 80 Plätze, in jeder der darüber angeordneten Reihen jeweils sechs Plätze mehr. Insgesamt gebt es zehn Sitzreihen. Wie viel Plätze sind im Zelt?

Lösung: Es handelt sich um eine arithmetische Folge mit  und , und es gilt:

Im Zelt gibt es 1070 Plätze.

Beispiel 3

Die Halbwertszeit des radioaktiven Iod-Isotops
I-131 beträgt 8,0 Tage.
(Die Halbwertszeit gibt die Zeitspanne an, in der jeweils die Hälfte der vorhandenen Masse zerfällt.)
a) Wie viel ist von 10 Gramm I-131 nach 80 Tagen noch übrig?
b) Nach welcher Zeit sind von 10 Gramm I-131 noch 5 mg vorhanden?

Lösung der Teilaufgabe a):
Der Anfangswert und die jeweils nach Abschnitten von 8,0 Tagen noch vorhandene Masse ergeben nachstehende Zahlenfolge:

Es liegt eine geometrische Folge mit  und  (Angabe der Folgeglieder hier und im Folgenden ohne Maßeinheit) vor.

Die nach Tagen noch vorhandene Masse ist dann das Glied der genannten geometrischen Folge, und es gilt:

Nach 80 Tagen sind also noch etwa 9,8 mg des Iod-Isotops vorhanden.

Lösung der Teilaufgabe b):
Von der obigen geometrischen Folge sind  und  gegeben, n ist gesucht. Es gilt:

Logarithmieren (zur beliebigen Basis, hier zur Basis 10) ergibt dann

also
 bzw. .

Nach knapp 88 Tagen sind noch 5 mg I-131 vorhanden.

Anmerkung: Hier zeigt sich die Grenze des mathematischen Modells Zahlenfolgen mit ihrem diskreten Definitionsbereich. Genauer kann der Sachverhalt mithilfe von Exponentialfunktionen beschrieben werden.

Beispiel 4

Für den Bau eines Brunnens wird eine Bohrung durchgeführt. Dabei kostet der erste Meter 15 Euro und jeder weitere 5 % mehr als der vorhergehende.
Wie hoch werden die Kosten für eine Bohrtiefe von 40 m?

Lösung: Es gilt .
Damit liegt eine geometrische Folge mit  und  vor.

Die Kosten für den vierzigsten Meter errechnen sich wie folgt:

Interessanter ist natürlich die Frage nach den Gesamtkosten. Diese errechnen sich nach der Formel für die Partialsumme einer geometrischen Folge:

Die Gesamtkosten belaufen sich damit auf etwa 1812 Euro.

Beispiel 5

Ein Bogen Papier habe eine Stärke von 0,20 mm.
Er wird 15-mal jeweils in der Mitte gefaltet.
Wie dick wird das Ganze nach 15-maligem Falten, wenn man die Zwischenräume vernachlässigt?

Lösung: Da sich die Dicke jeweils verdoppelt, liegt eine geometrische Folge mit  und  vor. Gesucht ist .

Es gilt:

Es würde sich (falls man die Faltungen bewältigt) eine Dicke von mehr als 6,5 m ergeben.

Beispiel 6

Einem gleichseitigen Dreieck wird ein wiederum gleichseitiges Dreieck einbeschrieben und zwar so, dass die Ecken des neuen auf den Seitenmitten des ursprünglichen Dreiecks liegen. Das Verfahren wird mehrfach wiederholt (siehe Abbildung).
Es ist der Flächeninhalt des fünften Dreiecks und die Summe der Flächeninhalte der ersten fünf Dreiecke zu berechnen, wenn das Ausgangsdreieck eine Seitenlänge von hat.

Durch Angabe der Differenz d und des Anfangsgliedes ist die gesamte Folge bestimmt, denn es gilt:

  • Beispiel 1:
    Gegeben:
    Gesucht:
    Lösung:

Auch durch Angabe eines beliebigen Gliedes und der Differenz d ist die arithmetische Folge eindeutig bestimmt.

  • Beispiel 2:
    Gegeben:
    Gesucht:
    Lösung:

Kennt man das Anfangsglied und ein beliebiges anderes Glied einer arithmetischen Folge, kann man die Differenz berechnen. Es gilt:

  • Beispiel 3:
    Gegeben:
    Gesucht: d
    Lösung:

Kennt man zwei beliebige Glieder einer arithmetischen Folge, kann man daraus das Anfangsglied und die Differenz d berechnen, indem das entsprechende Gleichungssystem mit zwei Unbekannten gelöst wird.

  • Beispiel 4:
    Gegeben:
    Gesucht: ; d
    Lösung:

Eine arithmetische Folge ist genau dann monoton wachsend (steigend), wenn ist, sie ist genau dann monoton fallend, wenn ist. Für den Fall entsteht die konstante Folge.

  • Bei einer arithmetischen Zahlenfolge ist jedes Glied (mit Ausnahme des Anfangsgliedes) das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarglieder (woraus sich auch der Name arithmetische Folge erklärt).
    Beweis:

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